Question

【題目】已知，為橢圓的左右焦點(diǎn)，在以為圓心，1為半徑的圓上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交圓于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

(1) 由在以為圓心，1為半徑的圓上,可知圓的方程為,由此圓與軸相切,可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,則可得出,由由兩點(diǎn)間距離公式可求得即求出的值,進(jìn)而求得,由此能求出橢圓的方程.

(2)因?yàn)?/span> 設(shè)，則,與橢圓聯(lián)立，得,由此利用弦長(zhǎng)公式可求得、又.可知,到的距離即到的距離,利用點(diǎn)到直線距離公式即可求得距離,通過(guò)面積公式可得,令,構(gòu)造函數(shù)化簡(jiǎn)、借助單調(diào)性即可求出面積的取值范圍.

(1) 圓的方程為,此圓與軸相切，則切點(diǎn)為即,

所以,又

所以.

所以橢圓的方程為.

(2) 當(dāng)平行軸的時(shí)候，與圓無(wú)公共點(diǎn)，從而不存在;設(shè),則.

由,消去得

則又圓心到的距離得.又.到的距離即到的距離，設(shè)為,即.

面積令

則

面積的取值范圍為.