Question

（2013•寶山區二模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=a（a≠3），an+1=Sn+3n，設bn=Sn-3n，n∈N^*．
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求實數a的最小值；
（3）當a=4時，給出一個新數列{e_n}，其中en=

3 ， n=1 bn ， n≥2

，設這個新數列的前n項和為C_n，若C_n可以寫成t^p（t，p∈N^*且t＞1，p＞1）的形式，則稱C_n為“指數型和”．問{C_n}中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得S_n+1=2S_n+3ⁿ，當a≠3時，

bn+1

bn

=2，利用等比數列的定義即可證得數列{b_n}是等比數列；
（2）由（1）可得S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1，a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*，從而可求得a_n=

a 2×3n-1+(a-3)×2n-2

n=1 n≥2

，由a_n+1≥a_n，可求得a≥-9，從而可求得實數a的最小值；
（3）由（1）當a=4時，b_n=2^n-1，當n≥2時，C_n=3+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹+1，C₁=3，可證得對正整數n都有C_n=2ⁿ+1，依題意由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數．分①當p為偶數時與②當p為奇數討論即可得到答案．

解答：解：（1）a_n+1=S_n+3ⁿ⇒S_n+1=2S_n+3ⁿ，b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，
當a≠3時，

bn+1

bn

=

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=

2Sn+3n-3n+1

Sn-3n

=2，
所以{b_n}為等比數列．b₁=S₁-3=a-3，b_n=（a-3）×2^n-1．
（2）由（1）可得S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1，
a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*，
∴a_n=

a 2×3n-1+(a-3)×2n-2

n=1 n≥2

，
∵a_n+1≥a_n，
∴a≥-9，又a≠3，
所以a的最小值為-9；
（3）由（1）當a=4時，b_n=2^n-1，
當n≥2時，C_n=3+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹+1，C₁=3，
所以對正整數n都有C_n=2ⁿ+1．
由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數．
①當p為偶數時，t^p-1=（t

p

2

+1）（t

p

2

-1）=2ⁿ，
因為t^p+1和t^p-1都是大于1的正整數，
所以存在正整數g，h，使得t^p+1=2^g，t

p

2

-1=2^h，2^g-2^h=2，2^h（2^g-h-1）=2，
所以2^h=2且2^g-h-1=1⇒h=1，g=2，相應的n=3，即有C₃=3²，C₃為“指數型和”；
②當p為奇數時，t^p-1=（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1），由于1+t+t²+…+t^p-1是p個奇數之和，仍為奇數，又t-1為正偶數，
所以（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1）=2ⁿ不成立，此時沒有“指數型和”．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列求和，突出邏輯思維與創新思維、綜合分析、運算能力的考查，屬于難題．