Question

（2013•寶山區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，nan+1=Sn+

n(n+1)

3

．從{a_n}中抽出部分項(xiàng)ak1，ak2，…，akn，…，（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，其中k1=1，n∈N*．
（1）求a₂的值；
（2）當(dāng)q取最小時(shí)，求{k_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求k₁+k₂+…+k_n的值．

Answer 1

分析：（1）由已知：a₁=2，nan+1=Sn+

n(n+1)

3

．令n=1即可得出；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由

nan+1=Sn+ n(n+1) 3 (n-1)an=Sn-1+ n(n-1) 3

⇒na_n+1-（n-1）a_n=a_n+

2

3

n⇒an+1-an=

2

3

，（n=1時(shí)也成立）即可得出通項(xiàng)a_n．
解法一：數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列{akn}的公比q＞1，由k₂=2，3，經(jīng)驗(yàn)證不符合題意，應(yīng)舍去；若k₂=4，則由a₄=4得q=2，此時(shí)akn=2•2n-1組成等比數(shù)列，可求出k_n；
解法二：設(shè)存在ak1，ak2，…，akn，…（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列，則

a

2 k2

=ak1•ak3，即[

2

3

(k2+2)]2=2×

2

3

(k3+2)⇒(k2+2)2=3(k3+2)即可得出k_n．
（3）利用（2）求出的k_n，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）令n=1得1•a2=a1+

1•2

3

，即a2=a1+

2

3

，
又a₁=2，∴a2=2+

2

3

=

8

3

．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由

nan+1=Sn+ n(n+1) 3 (n-1)an=Sn-1+ n(n-1) 3

⇒na_n+1-（n-1）a_n=a_n+

2

3

n⇒an+1-an=

2

3

，由（1）可知：a2-a1=

2

3

．
∴?n∈N^*，都有an+1-an=

2

3

．
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，

2

3

為公差的等差數(shù)列，∴an=

2

3

(n+2)．
解法一：數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列{akn}的公比q＞1，
若k₂=2，則由a2=

8

3

，得q=

a2

a1

=

4

3

，此時(shí)ak3=2•(

4

3

)2=

32

9

，由

32

9

=

2

3

(n+2)解得n=

10

3

∉N*，所以k₂＞2，同理k₂＞3；
若k₂=4，則由a₄=4得q=2，此時(shí)akn=2•2n-1組成等比數(shù)列，
∴2•2n-1=

2

3

(m+2)，3•2^n-1=m+2，對(duì)任何正整數(shù)n，只要取m=3•2^n-1-2，即akn是數(shù)列{a_n}的第3•2^n-1-2項(xiàng)．最小的公比q=2．
∴kn=3•2n-1-2．
解法二：數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)遞增等差數(shù)列，故數(shù)列{akn}的公比q＞1，
設(shè)存在ak1，ak2，…，akn，…（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列，
則

a

2 k2

=ak1•ak3，即[

2

3

(k2+2)]2=2×

2

3

(k3+2)⇒(k2+2)2=3(k3+2)
∵k₂、k₃∈N*且k₂＞1所以k₂+2必有因數(shù)3，即可設(shè)k₂+2=3t，t≥2，t∈N，
當(dāng)數(shù)列{akn}的公比q最小時(shí)，即k₂=4，⇒q=2最小的公比q=2．∴kn=3•2n-1-2．
（3）由（2）可得從{a_n}中抽出部分項(xiàng)ak1，ak2，…，akn，…（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）組成的數(shù)列{akn}是等比數(shù)列，其中k₁=1，
那么{akn}的公比是q=

k2+2

3

，其中由解法二可得k₂=3t-2，t≥2，t∈N．
akn=3•(

k2+2

3

)n-1=

2

3

(kn+2)⇒kn=3•(

k2+2

3

)n-1-2
⇒kn=3•(

3t-2+2

3

)n-1-2⇒kn=3•tn-1-2，t≥2，t∈N
所以k1+k2+…+kn=3(1+t+t2+…+tn-1)-2n=3•tn-2n-3．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式S_n之間的關(guān)系an=

S1，當(dāng)n=1時(shí) Sn-Sn-1，當(dāng)n≥2時(shí)

，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式事件他的關(guān)鍵．