Question

（2012•德州一模）已知函數f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

(x∈R)
（I）求函數f（x）的最小正周期及在區間[0，

5π

12

]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，面積S_△ABC=3，求邊長a的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡 函數的解析式為sin（2x-

π

6

），由此求得函數的最小正周期，再根據角的范圍求出sin（2x-

π

6

） 值域．
（Ⅱ）在△ABC中，由 f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，可得 cosA=

4

5

，sinA=

3

5

．再由 面積S_△ABC=3 求出c=5，再用余弦定理求得a的值．

解答：解：（I）∵函數 f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x - 

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

），
故函數的最小正周期等于π．
∵x∈[0，

5π

12

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，故所求函數的值域為[-

1

2

，1]．
（Ⅱ）在△ABC中，∵f(

A

2

+

π

3

)=

4

5

，b=2，
∴cosA=

4

5

，sinA=

3

5

．
再由面積S_△ABC=3=

1

2

bcsinA，解得 c=5．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=13，
解得a=

13

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，余弦定理的應用以及解三角形，屬于中檔題．