Question

設(shè)向量

a

=(x ， 2)，

b

=(x+n ， 2x-1)（n為正整數(shù)），函數(shù)y=

a

•

b

在[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1．
（1）求證：a_n=n+1（2）．
（2）求b_n的表達(dá)式．
（3）若c_n=-a_n•b_n，試問(wèn)數(shù)列{c_n}中，是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結(jié)論．（注：

a

=( a1 ，a2 )與

a

={ a1 ，a2 }表示意義相同）

Answer 1

分析：（1）對(duì)稱軸x=-

n+4

2

＜0，所以y=x²+（n+4）x-2在[0，1]上為增函數(shù)，故可證；
（2）由數(shù)列{b_n}滿足的條件，再寫一式，兩式相減可求；
（3）設(shè)存在自然數(shù)k，使對(duì)n∈N，c_n≤c_k恒成立，易得當(dāng)n＜8時(shí)，c_n+1＞c_n，當(dāng)n=8時(shí)，c_n+1=c_n，當(dāng)n＞8時(shí)，c_n+1＜c_n故得解．

解答：解：（1）證明：對(duì)稱軸x=-

n+4

2

＜0，所以y=x²+（n+4）x-2在[0，1]上為增函數(shù)---（2分）
a_n=（-2）+（n+3）=n+1--（4分）
（2）解：由nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，
得，（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+b_n-1=(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1兩式相減，
得b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1=Sn
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=-

1

10

(

9

10

)n-2
即bn=

1… …當(dāng)n=1時(shí) - 1 10 ( 9 10 )n-2…當(dāng)n≥2時(shí)

（3）由（1）與（2）得cn=-anbn=

-2… …當(dāng)n=1時(shí) n+1 10 ( 9 10 )n-2…當(dāng)n≥2時(shí)

設(shè)存在自然數(shù)k，使對(duì)n∈N，c_n≤c_k恒成立
當(dāng)n=1時(shí)，c2-c1=

23

10

＞0?c2＞c1
當(dāng)n≥2時(shí)，cn+1-cn=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，
∴當(dāng)n＜8時(shí)，c_n+1＞c_n
當(dāng)n=8時(shí)，c_n+1=c_n，當(dāng)n＞8時(shí)，c_n+1＜c_n
所以存在正整數(shù)k=9，使對(duì)任意正整數(shù)n，均有c₁＜c₂＜…＜c₈=c₉＞c₁₀＞c₁₁＞…

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．