Question

設向量

a

=(x，2)，

b

=(x+n，2x-1)（n∈N^*），函數y=

a

•

b

在[0，1]上的最大值與最小值的和為a_n，又數列{b_n}滿足：nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1．
（1）求a_n、b_n的表達式．
（2）C_n=-a_nb_n，問數列{c_n}中是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有C_n≤C_k成立，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由向量的數量積寫出函數y，函數是二次函數，求出函數在[0，1]上的最值，則a_n可求，然后在給出的遞推式中取n=n-1再寫出一個，兩式相減可得數列{b_n}的前n項和，則b_n可求；
（2）把a_n、b_n代入c_n的表達式后化為關于n的函數，由函數式的值等于0分析n的取值．

解答：解；（1）y=

a

•

b

=（x，2）（x+n，2x-1）=x²+（n+4）x-2，對稱軸為x=-

n+4

2

＜0，所以函數在[0，1]上遞增，
當x=0時，y_min=-2，當x=1時，y_max=n+3，∴a_n=-2+n+3=n+1．
又因為nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1                   ①
令n=n-1，則(n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2+(

9

10

)n-3+…+

9

10

+1     ②
①-②得：b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=(

9

10

)n-1
所以Sn=(

9

10

)n-1
當n=1時，b₁=S₁=1，
當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(

9

10

)n-1-(

9

10

)n-2=-

1

10

•(

9

10

)n-2
所以bn=

1n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2n≥2

（2）Cn=-anbn=

-2n=1 n+1 10 •( 9 10 )n-2n≥2

，設存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有C_n≤C_k成立，
因為C2-C1=

3

10

+2=

23

10

＞0，所以C₂＞C₁，
當n≥2時，Cn+1-Cn=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，所以當n＜8時，C_n+1＞C_n
當n=8時，C_n+1=C_n，當n＞8時，C_n+1＜C_n
∴C₁＜C₂＜…＜C₈=C₉＞C₁₀＞…，
∴存在正整數k=8或9，使得對于任意的正整數n，都有C_n≤C_k成立．

點評：本題考查了數列的遞推式及數列與不等式的綜合，訓練了錯位相減法，在給出數列的前n項和后，求數列通項時一定要討論n=1時的情況．