Question

（2012•普陀區一模）如圖，已知圓錐體SO的側面積為15π，底面半徑OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母線BS的中點．
（1）求圓錐體的體積；
（2）異面直線SO與PA所成角的大小（結果用反三角函數表示）．

Answer 1

分析：（1）根據圓錐側面積公式，結合題中數據列式，可得圓錐的母線長，再用勾股定理算出高的長度，最后用圓錐體積公式可得該圓錐的體積．
（2）取OB中點H，連接PH、AH，在△POB中，利用中位線定理，得到PH∥SO，故∠APH（或其補角）即為直線SO與PA所成角．在Rt△AOH中，計算出AH的長，最后在Rt△PAH中，利用正切的定義，得到異面直線SO與PA所成角的大小為arctan

3 5

4

．

解答：解：（1）∵圓錐體SO的側面積為15π，底面半徑OA=3，
∴π•OA•SB=15π，得SB=5
Rt△SOB中，SO=

SB2-OB2

=4，即圓錐的高為4
∴圓錐體的體積為V=

1

3

π×3²×4=12π
（2）取OB中點H，連接PH、AH
∵△POB中，PH為中位線
∴PH∥SO，PH=

1

2

SO=2
故∠APH（或其補角）即為直線SO與PA所成角
∵SO⊥平面AOB，PH∥SO，
∴PH⊥平面AOB，可得PH⊥AH
∵△AOH中，AO⊥BO，HO=

1

2

BO=

3

2

∴AH=

AO2+HO2

=

3 5

2

∴Rt△PAH中，tan∠APH=

AH

PH

=

3 5

4

，得∠APH=arctan

3 5

4

（銳角），
因此，異面直線SO與PA所成角的大小為arctan

3 5

4

．

點評：本題給出圓錐一條母線的中點與底面圓上一點的連線，要我們求它與高線所成的角，著重考查了空間平行垂直的位置關系和異面直線所成角的求法，屬于中檔題．