Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx，a∈R．

（1）若x＝2是函數f（x）的極值點，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若x＞1時，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x+8y﹣1＝0，(2) （﹣∞，2]．

【解析】

（1）由x＝2是函數f（x）的極值點，可得，f′（2）＝0，代入可求a，然后結合導數的幾何意義即可求解，

（2）先對函數求導，然后結合導數與單調性的關系對a進行分類討論即可求解．

（1）∵f′（x），

由x＝2是函數f（x）的極值點，可得，f′（2）＝0，

∴a，

∴y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k＝f′（1），

又f（1）＝0

故y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y即x+8y﹣1＝0，

（2）若a≤2，x＞1時，f′（x）0，

∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增，f（x）＞f（1）＝0，符合題意，

若a＞2，方程x2+（2﹣2a）+1＝0的△＝4a2﹣8a＞0，

∴x2+（2﹣2a）+1＝0有兩個不等的根，設兩根分別為x1，x2，且x1＜x2，

∵x1+x2＝2a﹣2，x1x2＝1，

∴0＜x1＜1＜x2，＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當x∈（1，x2）時，x2+（2﹣2a）+1＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

f（x）＜f（1）＝0，不符合題意，

綜上可得，a的范圍（﹣∞，2]．