Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求的定義域；

（2）試判斷函數在區間上的單調性，并給出證明；

（3）若在區間上恒取正值，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數在區間上是減函數，證明見解析；（3）

【解析】

（1）將代入得到的解析式，根據解析式要有意義，列出不等式，求解即可得到的定義域；
（2）利用函數單調性的定義，令，先判斷出，再根據對數的單調性，判斷出，從而證明結結論；
（3）將在上恒取正值，等價為在上恒成立，轉化為，利用的單調性即可求出的最小值，從而列出不等式，求解即可得到的取值范圍.

（1）當時，，
，即，
，即，
∴函數的定義域為；
（2）函數在區間上是減函數.
證明：任取，且，
，

令，

，
，，
，即，
，
，
∴，
∴在上是減函數；
（3）由（2）可知，在上是減函數，
∴在上是單調遞減函數，
∴在上的最小值為，
∵在上恒取正值，即在上恒成立，
，
，即，
，
，
，
故的取值范圍為.