Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 是等邊三角形， 為的中點，四邊形為直角梯形， .

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積；

（3）在棱上是否存在點，使得平面？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在為中點.

【解析】試題分析：（1）由 根據線面垂直的判定定理可證明平面，再利用面面垂直的判定定理可得結論；（2）連接因為△為等邊三角形， 為中點，所以．因為平面，所以，由線面垂直的性質可得平面，即是棱錐高，算出底面面積，利用棱錐的體積公式可得結果；（3）棱上存在點，使得∥平面，取中點，連接由中位線定理及線面平行的判定定理可得∥平面，可得平面∥平面．再利用面面平行的性質可得結論.

試題解析：（1） 因為， ， ，

所以平面．因為平面，

所以平面平面．

（2）連接．

因為△為等邊三角形， 為中點，所以．

因為平面，所以

因為，所以平面．

所以．

在等邊△中， ，

，

所以．

（3）棱上存在點，使得∥平面，此時點為中點．取中點，連接．因為為中點， 所以∥．

因為平面，所以∥平面．因為為中點，

所以∥．因為平面，所以∥平面．

因為，所以平面∥平面．

因為平面，所以∥平面．