Question

【題目】如圖,四棱錐 中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.

(1)若點E是PC的中點,求證:平面BDE;

(2)若點F在線段PA上,且,當三棱錐的體積為時,求實數的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ平面BDE，PA平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，進一步利用求得最后利用平行線分線段成比例求出λ的值

試題解析：（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，

又EQ平面BDE，PA平面BDE．所以PA∥平面BDE

（Ⅱ）解：依據題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點O，

所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；

作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD是矩形，

所以BC⊥平面PAB，則△PBC為直角三角形，

所以，則直角三角形△ABD的面積為，

由FM∥PO得：