Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（側棱垂直于底面的棱柱）中，CA⊥CB，CA＝CB＝CC1＝2，動點D在線段AB上．

（1）求證：當點D為AB的中點時，平面B1CD⊥上平面ABB1A1；

（2）當AB＝3AD時，求平面B1CD與平面BB1C1C所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）推導出，，平面，由此能證明平面上平面．（2），，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

（1）∵在等腰Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點，∴CD⊥AB，

又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，CD平面ABC，

∴B1B⊥CD，∵AB∩B1B＝B，∴CD⊥平面ABB1A1，

又CD平面B1CD，∴平面B1CD⊥上平面ABB1A1．

（2）如圖，∵CA，CB，CC1兩兩垂直，

∴以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），D，

（0，2，2），，

設平面B1CD的法向量＝（x，y，z），則，令z＝1，得，

平面BB1C1C的法向量＝（2，0，0），

設平面B1CD與平面BB1C1C所成的銳二面角的平面角為θ，

則cosθ＝ ，

∴平面B1CD與平面BB1C1C所成的銳二面角的余弦值為．