Question

【題目】已知函數．

(Ⅰ)當時，求函數的單調區間；

(Ⅱ)當時，對任意恒在函數上方，若,求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）在單調遞增, 在單調遞減；（2）.

【解析】分析：（1）求出導函數，解不等式得增區間，解不等式得減區間；

（2）令，求出導函數，可按和分類討論的正負，確定的單調性，得出的最小值，由最小值＞0得的滿園．

詳解：（1）在單調遞增, 在單調遞減.

（2）法一：令， 則， ①當即時，恒成立，故在上單調遞增，又所，,；

②當即時，令，得

時，，則單調遞減；

時，，則單調遞增.

故，令，

則，所以在上單調遞減，

又，

,.

綜上所述，.

法二：，恒在上方，即，恒成立.

即恒成立，也即：在上恒成立，

令，則

令，則，

故在上單調遞增，而

所以存在唯一的零點，即

當，單調遞減；單調遞增

即