Question

已知空間4個球，它們的半徑分別為2，2，3，3，每個球都與其他三個球外切，另有一個小球與這4個球都外切，則這個小球的半徑為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：球

分析：設(shè)半徑分別為3、3、2、2的四個球的球心分別為A、B、C、D，與這4個球都外切的小球球心為O，半徑為r，其中AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，連接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中點F、G，連接OF、OG，求出FG，利用OF+OG=FG列出關(guān)于r的方程，求出這個小球的半徑即可．

解答： 解：設(shè)半徑分別為3、3、2、2的四個球的球心分別為A、B、C、D，與這4個球都外切的小球球心為O，半徑為r，
如圖，連接AB、BC、CD、DA、AC、BD，得到四棱錐D-ABCD，
可得AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，
連接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中點F、G，連接OF、OG，
在等腰△ABC中，AC=BC=5，AF=BF=3，
所以CF=4，同理可得DF=4；
由此可得△CDF中，DF=CF，結(jié)合CG=DG，
連接FG，得FG是等腰△CDF底邊中線，所以FG⊥CD
同理可得FG⊥AB，因此FG是異面直線AB、CD的公垂線段，
在Rt△AOF中，AF=3，OA=3+r，可得OF=

(r+3)2-9

，同理，OG=

(r+2)2-4

，
在Rt△CFG中，F(xiàn)G=

CF2-CG2

=2

3

，
所以O(shè)F+OG=FG，
即

(r+3)2-9

+

(r+2)2-4

=2

3

，
解之得r=

6

11

或r=-6（舍去），
則這個小球的半徑為

6

11

．
故答案為：

6

11

．

點評：本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及球的結(jié)構(gòu)特征的運用，屬于中檔題．