Question

（2012•資陽一模）設函數f(x)=

x2-(4a+1)x-8a+4，x＜1 logax，x≥1

．
（1）若函數f（x）是R上的減函數，求實數a的取值范圍．
（2）當a=2時，令函數g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1），對任意x∈R，不等式g（x）≥mt+m對任意的t∈[-2，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數、對數函數的單調性，及函數單調性的定義，可建立不等式組，由此可求實數a的取值范圍；
（2）通過研究函數g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）的最小值，將問題轉化為mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，再構建函數，即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）若函數f（x）是（-∞，+∞）上的減函數，則：

4a+1 2 ≥1 0＜a＜1 12-(4a+1)×1-8a+4≥loga1

（5分）
解得

1

4

≤a≤

1

3

，故實數a的取值范圍是[

1

4

，

1

3

]．（6分）
（2）g(x)=2f(2x+3)-f(2x+1)=2log2(2x+3)-log2(2x+1)=log2

(2x+3)2

2x+1

（8分）
=log2

(2x+1)2+4(2x+1)+4

2x+1

=log2[(2x+1)+

4

2x+1

+4]，
∵(2x+1)+

4

2x+1

+4≥2

(2x+1)• 4 2x+1

+4=8，當且僅當2x+1=

4

2x+1

，即2^x+1=2，x=0時“=”成立，
∴函數g（x）≥log₂8=3，函數g（x）的最小值為3．（10分）
不等式g（x）≥mt+m對x∈R，t∈[-2，2]恒成立，即mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，令h（t）=mt+m-3，
∴

h(-2)=-2m+m-3≤0 h(2)=2m+m-3≤0

解得-3≤m≤1，
故實數m的取值范圍是[-3，1]．（12分）

點評：本題考查函數單調性的定義，考查利用基本不等式求函數的最值，考查恒成立問題，正確理解單調性的定義，合理轉化是解題的關鍵．