Question

在直徑為AB的半圓形區域內，劃出一個三角形區域，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓上，其他兩邊分別為6米和8米.先要建造一個內接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，圖2-5-20的設計方案是使AC=8米，BC=6米.

圖2-5-20

（1）求△ABC的邊AB上的高h.

（2）設DN=x，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？

（3）實際施工時，發現在AB上距B點1.85米的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果為保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.

Answer 1

思路分析:（1）利用三角形的面積，即斜邊×斜邊上的高=兩直角邊的積；（2）求最值問題時，利用三角形相似得到比例式，轉變成二次函數即可.

解:（1）∵直徑AB為△ABC的斜邊，∴AB==10米.

∴h==4.8米.

（2）∵=，∴AN=x.

又∵，

∴S_矩形DEFN=x·(8-x)=x²＋10x=(x-)²＋12.

∴當x=時，S_max=12.

（3）∵BC²=OB·AB，∴OB=3.6.

∵，∴BE=1.8.同理，AD=3.2,∴AC=6，BC=8即可.