Question

如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點(diǎn)C在半圓弧上，半圓內(nèi)△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS內(nèi)部為一水池，其余地方種花，若AB=2a，∠CAB=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x，面積為S₂，將比值稱(chēng)為“規(guī)劃合理度”．
（1）求證：．
（2）當(dāng)a為定值，θ變化是，求“規(guī)劃合理度”的最小值及此時(shí)角θ的大小．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ
所以AC=2acosθ，BC=2asinθ
因?yàn)檎�方形PQRS的邊長(zhǎng)為x
所以AC=，2acosθ=，
∴x=
（2）因?yàn)椤鰽BC中，AC=2acosθ，BC=2asinθ
所以s1=4a2sinθcosθ=2a2sin2θ
因
所以s2=
因此“規(guī)劃合理度”

當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1即θ=時(shí)取得最小值
分析：（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ所以AC=2acosθ，BC=2asinθ，再用正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x表示AC=，建立2acosθ=求解．
（2）由（1）可得s2=建議“規(guī)劃合理度”模型，再用基本不等式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面圖形中各邊角的量的關(guān)系的轉(zhuǎn)化及建立三角模型用基本不等式法或?qū)��?shù)求其最值的問(wèn)題．