Question

如圖，某小區準備綠化一塊直徑為AB的半圓形空地，點C在半圓弧上，半圓內△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS內部為一水池，其余地方種花，若AB=2a，∠CAB=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的邊長為x，面積為S₂，將比值

S1

S2

稱為“規劃合理度”．
（1）求證：x=

2asin2θ

2+sin2θ

．
（2）當a為定值，θ變化是，求“規劃合理度”的最小值及此時角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ所以AC=2acosθ，BC=2asinθ，再用正方形PQRS的邊長為x表示AC=

x

sinθ

+xcosθ，建立2acosθ=

x

sinθ

+xcosθ求解．
（2）由（1）x=

2asin2θ

2+sin2θ

可得s2=

4a2(sin2θ)2

(2+sin2θ)2

建議“規劃合理度”模型

s1

s2

 =

(2+sin2θ)2

2sin2θ

，θ∈(0，

π

2

)，再用基本不等式求解．

解答：解：（1）在△ABC中，AB=2a，∠CAB=θ
所以AC=2acosθ，BC=2asinθ
因為正方形PQRS的邊長為x
所以AC=

x

sinθ

+xcosθ，2acosθ=

x

sinθ

+xcosθ，
∴x=

2asin2θ

2+sin2θ

（2）因為△ABC中，AC=2acosθ，BC=2asinθ
所以s1=4a2sinθcosθ=2a2sin2θ
因x=

2asin2θ

2+sin2θ

所以s2=

4a2(sin2θ)2

(2+sin2θ)2

因此“規劃合理度”

s1

s2

 =

(2+sin2θ)2

2sin2θ

，θ∈(0，

π

2

)

s1

s2

=

(2+sin2θ)2

2sin2θ

=

1

2

(

4

sin2θ

+sin2θ+4)≥

9

2

當且僅當sin2θ=1即θ=

π

4

時取得最小值

9

2

點評：本題主要考查平面圖形中各邊角的量的關系的轉化及建立三角模型用基本不等式法或導數求其最值的問題．