Question

【題目】已知函數f（x）= （x∈R），給出下面四個命題：
①函數f（x）的圖象一定關于某條直線對稱；
②函數f（x）在R上是周期函數；
③函數f（x）的最大值為 ；
④對任意兩個不相等的實數 ，都有 成立．
其中所有真命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：f（x）= = ．
∵f（2﹣x）= ，∴函數f（x）的圖象一定關于直線x=1對稱，故①正確；
當x→+∞時，2x+22﹣x→+∞，則f（x）→0，∴函數f（x）在R上不是周期函數，故②錯誤；
由①知，函數f（x）關于直線x=1對稱，且當x＞1時，隨著x的增大，其圖象大致形狀如圖：

函數f（x）的最大值為 ，故③正確；
由圖可知，在x=1右側附近，連接曲線上兩點的斜率小于0，故④錯誤．
∴所有真命題的序號是①③．
所以答案是：①③．