Question

【題目】已知函數f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）當x∈[ ， ]時，求函數f（x）的最大值，最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2=1+sin2x+cos2x﹣1= sin（2x+ ），

∴f（x）的最小正周期是 =π．

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，

∴f（x）的單調增區間是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z．

（2）解：∵x∈[ ， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，

∴當2x+ = 時，f（x）取得最大值1，

當2x+ = 時，f（x）取得最小值﹣ ．

【解析】（1）化簡得f（x）=1+sin2x+cos2x﹣1= sin（2x+ ），令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ解得增區間；（2）根據x的范圍求出2x+ 的范圍，結合正弦函數的單調性求出f（x）的最值．
【考點精析】本題主要考查了三角函數的最值的相關知識點，需要掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．