Question

已知兩點M（2，0）、N（-2，0），平面上動點P滿足由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

MP

= 0
（1）求動點P的軌跡C的方程．
（2）是否存在實數m使直線x+my-4=0（m∈R）與曲線C交于A、B兩點，且OA⊥OB？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

MP

= 0，得4

(x-2) 2+y2

+(-4x-8)=0，由此能求出點P的軌跡C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將x=4-my，代入C的方程，得y²+8my-32=0，由x₁x₂+y₁y₂=16，知不存在實數m使OA⊥OB成立．

解答：解：（1）設P（x，y），由|

MN

|•|

MP

|+

MN

•

MP

= 0，
得4

(x-2) 2+y2

+(-4x-8)=0，
化簡，得y²=8x，
∴點P的軌跡C的方程為y²=8x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將x=4-my，代入C的方程，得y²=32-8my，
即y²+8my-32=0，
∴y₁y₂=-32，x1x2=

y12

8

•

y22

8

=16，
x₁x₂+y₁y₂=16，
∵OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，
∴不存在實數m使OA⊥OB成立．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．