Question

（2006•重慶一模）已知兩點M（-2，0），N（2，0），動點P（x，y）在y軸上的射影為H，|

PH

|是2和

PM

•

PN

的等比中項．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，求實軸最長的雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（I）先用坐標表示出向量

PH

=(-x，0)，

PM

=(-2-x，-y)，

PN

=(2-x，-y)，進而利用|

PH

|是2和

PM

•

PN

的等比中項，可得(|

PH

|)2=2

PM

•

PN

，從而求出動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，且Q在右支上，N（2，0）關于直線x+y=1的對稱點為E（1，-1），則|QE|=|QN|，所以雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=

10

（當且僅當Q，E．M共線時取“=”），此時，實軸長為2a，最大為

10

；同理若Q在左支上，雙曲線C的實軸長為2a，最大為

10

，從而可求實軸最長的雙曲線C的方程．

解答：解：（I）M（-2，0），N（2，0），設動點P的坐標為（x，y），所以H（0，y），
所以

PH

=(-x，0)，

PM

=(-2-x，-y)，

PN

=(2-x，-y)
∴

PM

•

PN

=x2-4+y2，|  

PH

|2=x2
∵|

PH

|是2和

PM

•

PN

的等比中項
∴(|

PH

|)2=2

PM

•

PN

∴x²=2（x²-4+y²）
∴

x2

8

+

y2

4

=1為所求動點P的軌跡方程；
（II）若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，且Q在右支上，N（2，0）關于直線x+y=1的對稱點為E（1，-1），則|QE|=|QN|
∴雙曲線C的實軸長2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=

10

（當且僅當Q，E．M共線時取“=”），此時，實軸長為2a，最大為

10

同理若Q在左支上，雙曲線C的實軸長為2a，最大為

10

∴雙曲線C的實半軸長為a=

10

2

∵c=

1

2

|MN|=2
∴b2=c2-a2=

3

2

∴實軸最長的雙曲線C的方程為

x2

5 2

-

y2

3 2

=1．

點評：本題以向量為載體，考查向量的坐標運算，考查動點的軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，綜合性較強．