Question

【題目】設函數y=f （x）的定義域為D，如果存在非零常數T，對于任意 x∈D，都有f（x+T）=Tf （x），則稱函數y=f（x）是“似周期函數”，非零常數T為函數y=f（ x）的“似周期”．現有下面四個關于“似周期函數”的命題：
①如果“似周期函數”y=f（x）的“似周期”為﹣1，那么它是周期為2的周期函數；
②函數f（x）=x是“似周期函數”；
③函數f（x）=2x是“似周期函數”；
④如果函數f（x）=cosωx是“似周期函數”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命題的序號是 ． （寫出所有滿足條件的命題序號）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：①∵似周期函數”y=f（x）的“似周期”為﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），
∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），
故它是周期為2的周期函數，
故正確；
②若函數f（x）=x是“似周期函數”，則f（x+T）=Tf （x），
即x+T=Tx恒成立；
故（T﹣1）x=T恒成立，
上式不可能恒成立；
故錯誤；
③若函數f（x）=2x是“似周期函數”，則f（x+T）=Tf （x），
即2x+T=T2x恒成立；
故2T=T成立，無解；
故錯誤；
④若函數f（x）=cosωx是“似周期函數”，則f（x+T）=Tf （x），
即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；
故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；
即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，
故 ，
故ω=kπ，k∈Z；
故正確；
所以答案是：①④．