Question

【題目】已知函數y=f（x），y=g（x）的值域均為R，有以下命題：
①若對于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，則f（x）=x．
②若對于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，則f（x）=x．
③若存在唯一的實數a，使得f[g（a）]=a成立，且對于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，則存在唯一實數x0 ， 使得g（ax0）=1，f（x0）=a．
④若存在實數x0 ， y0 ， f[g（x0）]=x0 ， 且g（x0）=g（y0），則x0=y0 ．
其中是真命題的序號是 ． （寫出所有滿足條件的命題序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①令t=f（x），則對于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化為：f（t）=t，即f（x）=x，故①為真命題；
②令 ，顯然能滿足題設條件，當x≠0，有f（x）= ，不滿足結論；
故②為假命題；
③假設存在實數x0 ，
∵f（x0）=a，f（g（a））=a；
∴g（a）=x0；
g（f（x0））= ﹣x0+1；
=[g（a）]2﹣g（a）+1；
而f（g（a））=a，
∴命題成立；
故③正確；
④∵ ，g（x0）=g（y0）；
∴x0=y0；
故④正確；
所以答案是：①③④
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．