Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且a1=a（a∈R），an+1= ，n∈N*；
（1）若0＜an≤6，求證：0＜an+1≤6；
（2）若a=5，求S2016；
（3）若a= （m∈N*），求S4m+2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當an∈（0，3]時，則an+1=2an∈（0，6]，

當an∈（3，6]時，則an+1=an﹣3∈（0，3]，

故an+1∈（0，6]，

所以當0＜an≤6時，總有0＜an+1≤6

（2）解：a1=a=5時，a2=a1﹣3=2，a3=2a2=4，a4=a3﹣3=1，a5=2a4=2，a6=2a5=4，a7=a6﹣3=1，

∴數列{an}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，

∴從2項起，以3為周期的數列，其和為2+4+1=7，

∴S2016=5+7×671+2+4=4708

（3）解：由m∈N*，可得2m﹣1≥1，故a= ≤3，

當1＜k≤m時，2k﹣1a≤ = ＜ =3．

故ak=2k﹣1a且am+1=2ma．又am+1= ＞3，

所以am+2=am+1﹣3=2ma﹣3=2m ﹣3=a．

故S4m+2=S4（m+1）﹣a4m+3﹣a4m+4=4（a1+a2+…+am+1）﹣（2m﹣1+2m）a

=4（1+2+…+2m）a﹣3×2m﹣1a=4（2m+1﹣1）a﹣3×2m﹣1a

=（2m+3﹣3﹣3×2m﹣1）a=

【解析】（1）分當an∈（0，3]時和當an∈（3，6]時，分別求出an+1的范圍，得到要證的不等式．（2）根據遞推公式得到，數列{an}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，從2項起，以3為周期的數列，即可求出答案．（3）通過解不等式判斷出項的取值范圍，從而判斷出項之間的關系，選擇合適的求和方法求出和．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．