Question

已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．（1）證明：拋物線在點處的切線與平行；（2）是否存在實數使NANB，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)   

法一：（Ⅰ）如圖，設，，把代入得，由韋達定理得，，
，點的坐標為．
設拋物線在點處的切線的方程為，
將代入上式得，直線與拋物線相切，
，．即．
（Ⅱ）假設存在實數，使，則，又是的中點，
．由（Ⅰ）知
．軸，．
又
．，解得．即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如圖，設，把代入得
．由韋達定理得．
，點的坐標為．，，
拋物線在點處的切線的斜率為，．
（Ⅱ）假設存在實數，使．
由（Ⅰ）知，則





，，，解得．即存在，使．