Question

【題目】如圖,為保護河上古橋OA,規劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區.規劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m.經測量，點A位于點O正北方向60 m處,點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長;

（2）當OM多長時,圓形保護區的面積最大?

Answer 1

【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m

【解析】試題分析：本題是應用題，我們可用解析法來解決，為此以為原點，以向東，向北為坐標軸建立直角坐標系.（1）點坐標炎， ，因此要求的長，就要求得點坐標，已知說明直線斜率為，這樣直線方程可立即寫出，又，故斜率也能得出，這樣方程已知，兩條直線的交點的坐標隨之而得；（2）實質就是圓半徑最大，即線段上哪個點到直線的距離最大，為此設，由，圓半徑是圓心到直線的距離，而求它的最大值，要考慮條件古橋兩端和到該圓上任一點的距離均不少于80，列出不等式組，可求得的范圍，進而求得最大值．當然本題如果用解三角形的知識也可以解決．

試題解析：

（1）如圖，以為軸建立直角坐標系，則， ，由題意，直線方程為．又，故直線方程為，由，解得，即，所以 ；

（2）設，即 ，由（1）直線的一般方程為，圓的半徑為，由題意要求，由于，因此 ，∴∴，所以當時， 取得最大值，此時圓面積最大．