Question

【題目】設是定義在R上的函數,對任意的,恒有，且當時, .

(1)求的值;

(2)求證:對任意,恒有.

(3)求證:在R上是減函數.

Answer 1

【答案】（1）;

（2）證明見解析；

（3）證明見解析；

【解析】

(1)應用取特殊值法.令,根據當時,,可以求出的值;

(2)當時,應用,再根據當時,,可以證明此時

,再結合(1)的結論,可以證明對任意,恒有.

(3)運用定義法證明在R上是減函數.在證明過程中結合(2)中的結論,和已知當時,,這一條件.

(1) 令,有,當時,,所以有,于是有

；

(2)當時,有,因為,所以,已知當時,,所以,由(1)可知,所以有；

已知當時,；

由(1)可知,故對任意,恒有；

(3)設且,所以有,而已知當時,,因此有

,而,由(2)的證明過程可知：,

于是由可得,所以有,根據(2)的性質可知：,所以有,因此在R上是減函數.