Question

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均為2， ， 分別為和的中點．

（1）證明： 平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：(1)證明線面垂直，一般方法為利用線面垂直的判定定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與論證，可從兩個方面出發，一是利用面面垂直得線面垂直，再得線線垂直，二是利用平幾知識，如本題中正方形有關性質，(2)求點到直線距離，一般方法為利用等體積法，即根據可得分別求出兩個三角形面積代入可得點到平面的距離.

試題解析：（I）證明：由知,又平面平面，所以平面,而平面 ，∴,在正方形中，由分別是和的中點知,而，∴平面.

(Ⅱ)解法1: 由（I）平面,過點作， 交和分別于點和,則平面,即的長為到平面的距離， 在正方形中,易知， ,即,得，故到平面的距離為.

解法2：如圖，連接，在三棱錐中，設到平面的距離為，則，將， 代入得，得， 故到平面的距離為.