Question

已知函數f（x）=asinx+cosx，a∈R；
（Ⅰ）求在點（

π

2

，1）的切線方程；
（Ⅱ）若a=f′（

π

2

），求f（

π

4

）的值．

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）先求導，再代入切點，求出斜率，問題得以解決．
（Ⅱ）先利用導數求a的值，再求f（

π

4

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=asinx+cosx，
∴f（

π

2

）=asin

π

2

+cos

π

2

=1，
解得，a=1
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴k=f′（

π

2

）=cos

π

2

-sin

π

2

=-1，
故切線方程為y-1=-（x-

π

2

），
即x+y-1-

π

2

=0．
（Ⅱ）∵f′（x）=acosx-sinx，
∴f′（

π

2

）=acos

π

2

-sin

π

2

=-1=a
∴a=-1，
∴f（

π

4

）=-sin

π

4

+cos

π

4

=0．

點評：本試題主要是考查了三角函數中導數幾何意義的運用，以及導數的運算．