Question

(1)已知兩個等比數列{a_n},{b_n},滿足a₁=a(a>0),b₁-a₁=1,b₂-a₂=2,b₃-a₃=3,若數列{a_n}唯一,求a的值;
(2)是否存在兩個等比數列{a_n},{b_n},使得b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成公差不為0的等差數列?若存在,求{a_n},{b_n}的通項公式;若不存在,說明理由.

Answer 1

(1) a=    (2) 不存在，理由見解析

解:(1)設等比數列{a_n}的公比為q,
則b₁=1+a,b₂=2+aq,b₃=3+aq²,
由b₁,b₂,b₃成等比數列,得(2+aq)²=(1+a)(3+aq²),
即aq²-4aq+3a-1=0,(*)
由a>0得Δ=4a²+4a>0,故方程(*)有兩個不同的實數根,
再由{a_n}唯一,知方程(*)必有一根為0,將q=0代入方程(*)得a=.
(2)假設存在兩個等比數列{a_n},{b_n}使b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成公差不為0的等差數列,設等比數列{a_n}的公比為q₁,等比數列{b_n}的公比為q₂,
則b₂-a₂=b₁q₂-a₁q₁,
b₃-a₃=b₁-a₁,
b₄-a₄=b₁-a₁,
∵b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成等差數列,得

即
即
①×q₂-②得a₁(q₁-q₂)(q₁-1) ²=0,
由a₁≠0得q₁=q₂或q₁=1.
(ⅰ)當q₁=q₂時由①②得b₁=a₁或q₁=q₂=1,
這時(b₂-a₂)-(b₁-a₁)=0與公差不為0矛盾.
(ⅱ)當q₁=1時,由①②得b₁=0或q₂=1,
這時(b₂-a₂)-(b₁-a₁)=0與公差不為0矛盾.
綜上所述,不存在兩個等比數列{a_n}{b_n}使b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃,b₄-a₄成公差不為0的等差數列.