Question

【題目】設函數f（x）=a（x﹣1）． （Ⅰ）當a=1時，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；
（Ⅱ）設|a|≤1，當|x|≤1時，求證： ．

Answer 1

【答案】解：（ I）當a=1時，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x 當x≤﹣1時，得1﹣x﹣x﹣1≥3xx≤0，∴x≤﹣1
當﹣1＜x＜1時，得1﹣x+x+1≥3x ，∴
當x≥1時，得x﹣1+x+1≥3xx≤0，與x≥1矛盾
綜上得原不等式的解集為 =
（II）證明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|
∵|a|≤1，|x|≤1
∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|
=
當 時取“=”，得證
【解析】（Ⅰ）當a=1時，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x，分類討論，即可解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）設|a|≤1，當|x|≤1時，|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|，即可證明： ．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．