Question

【題目】如圖，三棱錐的側面是等腰直角三角形，，，，且．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點為，連接，可證 ，從而平面即平面平面．

（2）在平面中過作交于，計算平面、平面的法向量后再計算它們夾角的余弦值可得二面角的余弦值．我們也可以通過等積法計算到平面的距離，通過解三角形得到到的距離，兩者結合可得二面角的正弦值后可得其余弦值．

（1）證明：如圖，取 中點，連結，因為是等腰直角三角形，

所以，

設，則，

在中，由余弦定理得：

，

因為，，

所以，即，又，，

所以平面，因平面，

所以平面平面；

（2）過點在平面內作交于點，由（1）知平面，

分別以為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系，

不妨設，

則：，

則，，，

設平面的法向量，

則，取，

設平面的法向量，

則，取，

所以，

因為二面角的平面角是銳角，

所以二面角的余弦值為.

解法二：過點作于點，

設在平面上的射影為，連接，

則，所以為所求二面角的平面角，

設,則,

在中，,

所以,

在中，,所以,

由,

所以,

即,

在中，,

所以,

所以二面角的余弦值為.