Question

【題目】設函數f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．

（1）求曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；

（2）證明：f（x）≥1．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用點斜式即可得出切線方程．

（2）f（x）≥1（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．當x=1時，不等式成立．所以只需證明：x＞1時，lnx≥；0＜x＜1時，lnx≤．利用導數研究函數的單調性極值與最值，即可得出．

函數的定義域為.

，

.

.

∴曲線在點處的切線方程為

.

即.

（2）證明：

當x=1時，不等式顯然成立.

所以只需證明當時，；當時，.

令，則.

，

∴函數在上是增函數.

∴當x＞1時，；當0＜x＜1時，，.