Question

已知在區間上是增函數，實數a組成幾何A，設關于x的方程的兩個非零實根，實數m使得不等式使得對任意及恒成立，則m的解集是（    ）

A．	B．
C．	D．

Answer 1

A

試題分析：∵f（x）在[-1，1]上是增函數，
∴f'（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．①
設φ（x）=x²-ax-2，
方法一：①?φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0?-1≤a≤1，
∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續函數，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
方法二：
①?，φ(-1)=1+a-2≤0或，φ(1)=1-a-2≤0?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1．
∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續函數，且只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
由=，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0，∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，從而|x₁-x₂|===∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立．②
設g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②?g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
當m=0時，②顯然不成立；
當m≠0時，
②?m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
點評：解決該試題的關鍵是根據一元二次方程根與系數的關系寫出不等式先看成關于a的不等式恒成立再看成關于t的一次不等式恒成立，讓兩端點大等于零，以及函數單調遞增導數大于等于零列出不等式解之