Question

（本小題滿分12分）
(1)已知函數f(x)＝2^x－x²，問方程f(x)＝0在區間[－1，0]內是否有解，為什么？
(2)若方程ax²－x－1＝0在(0,1)內恰有一解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1)　方程f(x)＝0在區間[－1,0]內有解．(2) (2，＋∞)．

試題分析：
（1）因為第一問中，f(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，
f(0)＝2⁰－0²＝1>0，結合零點存在性定理可知，結論。
（2）方程ax²－x－1＝0在(0,1)內恰有一解，即函數f(x)＝ax²－x－1在(0,1)內恰有一個零點，則只要滿足端點的函數值一號即可。
(1)　因為f(－1)＝2^－1－(－1)²＝－<0，
f(0)＝2⁰－0²＝1>0，
而函數f(x)＝2^x－x²的圖象是連續曲線，所以f(x)在區間[－1,0]內有零點，即方程f(x)＝0在區間[－1,0]內有解．
(2)∵方程ax²－x－1＝0在(0,1)內恰有一解，即函數f(x)＝ax²－x－1在(0,1)內恰有一個零點，
∴f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2.
故a的取值范圍為(2，＋∞)．
點評：解決該試題的關鍵是根據零點的概念將方程解的問題轉換為關于圖像與圖像的交點問題來處理得到結論。