Question

【題目】如圖，圓F：和拋物線，過F的直線與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點，求的值是（ ）

A.1B.2C.3D.無法確定

Answer 1

【答案】A

【解析】

可分兩類討論，若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個點的坐標，從而|AB||CD|=1．若直線的斜率存在，設為直線方程為y=k（x-1），不妨設A（x1，y1），D（x2，y2），過A、D分別作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義，|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，把直線方程與拋物線方程聯立，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，利用韋達定理及|AB|=|AF|-|BF|=x1，|CD|=|DF|-|CF|=x2，可求|AB||CD|的值．

解：若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個點的坐標為（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），所以|AB|=1，|CD|=1，從而|AB||CD|=1．若直線的斜率存在，設為k，因為直線過拋物線的焦點（1，0），則直線方程為y=k（x-1），不妨設A（x1，y1），D（x2，y2），過A、D分別作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義，|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，把直線方程與拋物線方程聯立，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由韋達定理有 x1x2=1而拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心，所以|BF|=|CF|=R=1
從而有|AB|=|AF|-|BF|=x1，|CD|=|DF|-|CF|=x2．
所以|AB||CD|=x1x2=1
故選：A．