Question

【題目】已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;

（Ⅱ）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得直線的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)，即可求得曲線的普通方程；

（Ⅱ）求得直線的參數(shù)方程，代入橢圓的方程，利用直線參數(shù)的幾何意義，即可求解．

（Ⅰ）由直線極坐標(biāo)方程為，

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得直線直角坐標(biāo)方程：，

由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則，

整理得，即橢圓的普通方程為．

（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）

把直線的參數(shù)方程代入得：，

故可設(shè)，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，則有

又直線過點(diǎn)，故由上式及的幾何意義得：.