Question

【題目】已知平面，，，分別為，上的點，且，.

（1）求證：；

（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明BC⊥平面PAB，可得BC⊥AD，證明AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，再證明PC⊥平面ADE，即可證明PC⊥DE；

（2）過點B作BE∥AP，則BZ⊥平面ABC，分別以BA，BC，BZ所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設，根據PC⊥平面ADE，可得是平面ADE的一個法向量，從而向量與所成的角的余弦值的絕對值為，可求PA的值，利用題目條件求出平面的一個法向量，利用夾角公式可得二面角的余弦值.

（1）證明：因為平面，∴，

又，，

∴平面，∴.

又，，

∴平面，∴.

又，，

∴平面，∴.

（2）過點作，則平面，如圖所示

分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設，則，，，

因為平面，

∴是平面的一個法向量，

∴向量與所成的角的余弦值的絕對值為，

又，

，

∴，∴.

在中，，又，

∴為中點，∴，

∴，，

設平面的一個法向量為，

則，∴，∴，

又是平面的法向量，

∴，，

二面角的余弦值為.