Question

【題目】過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，且．

（1）求的值；

（2）拋物線上一點，直線（其中）與拋物線交于，兩個不同的點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，．動點在直線上，且滿足，其中為坐標原點．當線段最長時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設直線方程為，聯立拋物線方程由焦點弦長公式求解即可得P值；（2）直線與拋物線聯立由結合韋達定理得直線恒過定點，利用得動點地軌跡為圓，利用圓的性質即可求最小值

（1）拋物線的焦點為，設直線方程為

聯立拋物線方程可得

故：，

∴，解得．

（2）由（1）知拋物線方程為，從而點，設，

∵，∴，．

由

可得，即

從而該式滿足式

∴即直線恒過定點．

設動點，∵，∴

∴動點在，故與重合時線段最長，

此時直線，即：．