Question

【題目】已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，焦距為2，且長軸長是短軸長的倍．

(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)P(2，0)，過橢圓E左焦點(diǎn)F的直線l交E于A、B兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓方程，由a=b，a2=b2+1，即可求得a和b的值，求得橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，及函數(shù)的最值即可求得的最小值，即可求得λ的最小值．

試題解析：

(Ⅰ)依題意，a＝b，c＝1，

解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.

(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則·＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2，

當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x1＝x2＝－1，y1＝－y2且y＝，

此時(shí)＝(－3，y1)，＝(－3，y2)＝(－3，－y1)，

所以·＝(－3)2－y＝；

當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y＝k(x＋1)，

由整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以·＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2(x1＋1)(x2＋1)

＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝(1＋k2)·－(k2－2)·＋4＋k2

＝＝－<.

要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥(·)max＝，即λ的最小值為.