Question

如圖所示,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.

(1)求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;
(2)若正△ABC的邊長(zhǎng)為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

Answer 1

(1)見(jiàn)解析   (2)

解析(1)證明:∵AE=AB,∴BE=AB.
又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,
∴∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四點(diǎn)共圓.
(2)解:如圖所示,取AE的中點(diǎn)G,連接GD,則AG=GE=AE.

∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.
∵AD=AC=,∠DAE=60°,
∴△AGD為正三角形,
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,
所以點(diǎn)G是△AED外接圓的圓心,且圓G的半徑為.
由于A,E,F,D四點(diǎn)共圓,即A,E,F,D四點(diǎn)共圓G,其半徑為.