(12分)已知如圖(1)，梯形
中，
，
，
，
、
分別是
、
上的動點，且
，設
（
）。沿
將梯形翻折，使平面
平面
，如圖（2）。
（Ⅰ）求證：平面
平面；
（Ⅱ）若以
、
、
、為頂點的三棱錐的體積記為
，求的最大值；
（Ⅲ）當取得最大值時，求二面角
的正弦值．
解析：（Ⅰ）∵平面
平面
，
，∴
平面，
∴
∵
，
∴
平面
。
又
平面
，
∴平面
平面． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）∵
平面
，
∴
………………………………………6
即
時，
有最大值
． ………………………………………………8分
（Ⅲ）(方法一)如圖，以E為原點，
、
、
為軸建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
∴
，
，
設平面
的法向量為
，
則
∴
設
，則
，
，∴
………………………………10分
平面
的一個法向量為
，
∴
，
……………………………11分
設二面角
為
，∴
∴二面角的正弦值為
…………………………………………12分
(方法二)作
于
，作
于
，連
由三垂線定理知
，
∴
是二面角的平面角的補角．…………………………………9分
由
∽
，知
，而
，
，
，
∴
又
，∴
在
中，
。
∴二面角的正弦值為…………………………………12分
千里馬走向假期期末仿真試卷寒假系列答案科目：高中數學 來源：2011年湖南省長沙市一中高二上學期期末檢測數學文卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知如圖所示的程序框圖(未完成)，設當箭頭a指向①時，輸出的結果為S＝m，當箭頭a指向②時，輸出的結果為S＝n，求m＋n的值．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年遼寧省高三第五次模擬理數試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知如圖(1)，正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足
，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖（2）.
(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大�。�
(Ⅱ) 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為
，求k的值.
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科目：高中數學 來源：2011年湖南省長沙市高二上學期期末檢測數學文卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知如圖所示的程序框圖(未完成)，設當箭頭a指向①時，輸出的結果為S＝m，當箭頭a指向②時，輸出的結果為S＝n，求m＋n的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本題滿分12分）已知如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，過D與PB垂直的平面分別交PB、PC于F、E.
（1）求證：DE⊥PC；
（2）當PA//平面EDB時，求二面角E—BD—C的正切值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題滿分12分）
已知如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點E在棱PD上，且DE=2PE.
（I）求異面直線PA與CD所成的角的大�。�
（II）求證：BE⊥平面PCD；
（III）求二面角A—PD—B的大小.
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