Question

（本小題滿分12分）

已知如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點E在棱PD上，且DE=2PE.

（I）求異面直線PA與CD所成的角的大小；

（II）求證：BE⊥平面PCD；

（III）求二面角A—PD—B的大小.

Answer 1

解：解法一：如圖，以B為原點，分別以BC、BA、BP為x，y、z軸，建立空間直角坐標系，則

 

（1）

…4分

.

（2）

 

   

.

                                  9分

（3）設平面PAD的一個法向量為.

令

，設平面PBD的法向量為

令

                           

又二面角A—PD—B為銳二面角，故二面角A—PD—B的大小為.

解法二：（1）取BC中點F，連結AF，則CF=AD，且CF∥AD，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF∥CD.

∴∠PAF（或其補角）為異面直線PA與CD所成的角.

∵PB⊥平面ABCD,  ∴PB⊥BA，PB⊥BF.

∵PB=AB=BF=1， ∴PA=PF=AF=.

即異面直線PA與CD所成的角等于.        4分

（2）

，

則.

.           

由（1）知，..

                       

（3）設AF與BD的交點為O，則.

過點O作于點H，連結AH，則.

的平面角。

在.

在.

在.

.