Question

設(shè)集合，A={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}和集合B={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，如果命題“?t∈R，A∩B≠∅”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、0＜a≤

  4

  3

• B、0≤a≤

  5

  3

• C、0≤a≤

  4

  3

• D、0≤a＜

  5

  3

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：首先要將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即命題P：A∩B≠空集為假命題，再結(jié)合集合A、B的特征利用數(shù)形結(jié)合即可獲得必要的條件，解不等式組即可獲得問(wèn)題的解答．

解答： 解：∵A={（x，y）|（x-4）²+y²=1}，
表示平面坐標(biāo)系中以M（4，0）為圓心，半徑為1的圓，
B={（x，y）|（x-t）²+（y-at+2）²=1}，
表示以N（t，at-2）為圓心，半徑為1的圓，
且其圓心N在直線ax-y-2=0上，如圖．
如果命題“?t∈R，A∩B≠∅”是真命題，
即兩圓有公共點(diǎn)，
則圓心M到直線ax-y-2=0的距離不大于2，
即

|4a-2|

a2+1

≤2，解得0≤a≤

4

3

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a≤

4

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是集合運(yùn)算和命題的真假判斷與應(yīng)用的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了圓的知識(shí)、集合運(yùn)算的知識(shí)以及命題的知識(shí)．同時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想也在此題中得到了很好的體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．