Question

（2013•佛山一模）數列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數列{b_n}是首項為a₁，公差為d（d≠0）的等差數列，且b₁，b₃，b₁₁成等比數列．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

bn

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

、等差數列的通項公式、等比數列的定義即可得出；
（2）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
又a1=S1=21+1-2=2，也滿足上式，
所以數列{a_n}的通項公式為an=2n．
b₁=a₁=2，設公差為d，由b₁，b₃，b₁₁成等比數列，
得（2+2d）²=2×（2+10d），化為d²-3d=0．
解得d=0（舍去）d=3，
所以數列{b_n}的通項公式為b_n=3n-1．
（2）由（1）可得T_n=

2

21

+

5

22

+

8

23

+…+

3n-1

2n

，
∴2T_n=2+

5

21

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

，
兩式相減得T_n=2+

3

21

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-1

2n

，
=2+

3 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3n+5

2n

．

點評：熟練掌握an=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

、等差數列的通項公式、等比數列的定義、“錯位相減法”是解題的關鍵．