Question

如圖所示，已知菱形ABCD的邊長為2，AC∩BD=O．∠DAB=60°，將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐D-ABC．

（1）求證：平面BOD⊥平面ABC；
（2）若三棱錐D-ABC的體積為

1

2

，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）由ABCD是菱形，知DO⊥AC，BO⊥AC，由此能夠證明面ABC⊥面BOD．
（2）由V_D-ABC=

1

3

AC•S_△BOD=

1

3

×2

3

•S_△BOD=

1

3

×2

3

×

1

2

×1×1•sin∠BOD=

1

2

，能夠推導出∠BOD=

π

3

或

2π

3

，由此及彼能求出BD的長．

解答：解：（1）∵ABCD是菱形，∴DO⊥AC，（2分）
BO⊥AC，（4分）
BO∩DO=0，BO、DO?面BOD，AC?面BOD，
∴AC⊥面BOD，（5分）
∵AC?面ABC，∴面ABC⊥面BOD．（6分）
（2）V_D-ABC=

1

3

AC•S_△BOD=

1

3

×2

3

•S_△BOD
=

1

3

×2

3

×

1

2

×1×1•sin∠BOD=

1

2

，
sin∠BOD=

3

2

⇒∠BOD=

π

3

或

2π

3

（8分）
①若∠BOD=

π

3

，BD²=BO²+DO²-2•BO•DO•cos

π

3

=1+1-1=1，所以BD=1（10分）
②若∠BOD=

2π

3

，BD²=BO²+DO²-2•BO•DO•cos

2π

3

=1+1+1=3，所以BD=

3

綜上，BD=1或

3

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的線段長的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．