Question

如圖所示，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E，F分別是BC，A₁D₁的中點．
（1）求證：四邊形B₁EDF為菱形；
（2）求A₁C與DE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證四邊形B₁EDF為菱形，只要先證其是平行四邊形，再說明鄰邊相等即可，根據正方體的性質易證；
（2）根據異面直線所成角的定義，把直線A₁C平移和直線DE相交，找到異面直線A₁C與DE所成的角，解三角形即可求得結果．

解答：解：（1）證明：取AD中點H，連接BH，FH，
易證：FHBB₁為矩形，
因此，FB₁∥BH，且FB₁=BH，．
又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，
∴FB₁∥DE，FB₁=DE，
∴FB₁ED為平行四邊形．
又∵FD=DE=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
∴四邊形B₁EDF為菱形．
（2）連接AC交DE于點O，
則

AO

OC

=

DO

OE

=

AD

EC

=

2

1

．
過O點作OM∥A₁C交AA₁于點M，
則∠MOD或其補角為DE與A₁C所成的角．
在△MOD中，OD=

2

3

DE=

2

3

×

5

2

a=

5

3

a，
MO=

2

3

A₁C=

2

3

×

3

a=

2 3

3

a，
MD=

( 2 3 a)2+a2

=

13

3

a，
cos∠MOD=

15

15

．
∴A₁C與DE所成的角的余弦值等于

15

15

．

點評：此題是個中檔題．考查異面直線所成的角和棱柱的結構特征，以及解決異面直線所成的角的方法（平移法）的應用，體現了轉化的思想和數形結合的思想方法．