Question

如圖所示，已知菱形ABCD的邊長為2，將其沿對角線BD折成直二面角A-BD-C．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）若二面角A-BC-D的平面角的正切值為2，求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

（1）證明：取BD中點O，連接AO，CO，則AO⊥BD，CO⊥BD
∵AO∩CO=O，
∴BD⊥平面AOC，
∵AC?平面AOC，
∴AC⊥BD；
（2）解：過O作OE⊥BC于E，連接AE，則AO⊥面BCD，∴AO⊥BC
∵OE∩AO=O，∴BC⊥面AEO
∴∠AEO為二面角A-BC-D的平面角
∵二面角A-BC-D的平面角的正切值為2
∴
∴OE=AO=CO
∴∠OCB=30°
∴∠BCD=60°
∴AO=CO=，BD=2
∴三棱錐A-BCD的體積為．
分析：（1）取BD中點O，連接AO，CO，則AO⊥BD，CO⊥BD，可得BD⊥平面AOC，從而可得AC⊥BD；
（2）過O作OE⊥BC于E，連接AE，則∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，利用二面角A-BC-D的平面角的正切值為2，可得AO=CO=，BD=2，從而可求三棱錐A-BCD的體積．
點評：本題考查線面垂直，線線垂直，考查三棱錐的體積，掌握線面垂直的判定，正確利用三棱錐的體積公式是關鍵．