Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)（λ≠0），

OB

=(-sinβ，cosβ)，

OC

=(1，0)，其中O為坐標原點．
（1）若λ=2，α=

π

3

，β∈（0，π），且

OA

⊥

BC

，求β；
（7）若|

AB

|≥2|

OB

|對任意實數α，β都成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據給出的λ和α的值，求出向量

OA

，由向量的坐標差求出向量

BC

，最后由向量垂直的坐標表示可解得β的值；
（2）把向量

AB

和

OB

的模代入后得到關于λ的不等式λ²+1+2λsin（β-α）≥4，把不等式左邊看作關于λ的二次函數，分λ＞0和λ＜0求出函數的最小值，讓最小值大于等于4可求解λ的范圍．

解答：解：（1）若λ=2，α=

π

3

，則

OA

=(1，

3

)，

BC

=(1+sinβ，-cosβ)，
由

OA

⊥

BC

，得：1+sinβ-

3

cosβ=0，即1+2sin(β-

π

3

)=0，
所以sin(β-

π

3

)=-

1

2

，因為-

π

3

＜β-

π

3

＜

2π

3

，所以β-

π

3

=-

π

6

，所以β=

π

6

．
（2）若|

AB

|≥2|

OB

|對任意實數α，β都成立，則（λcosα+sinβ）²+（λsinα-cosβ）²≥4對任意實數α，β都成立，
即λ²+1+2λsin（β-α）≥4對任意實數α，β都成立，
所以，

λ＞0 λ2+1-2λ≥4

或

λ＜0 λ2+1+2λ≥4

，解得：λ≥3或λ≤-3，
所以實數λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點評：本題考查了向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了向量的模，考查計算能力，數學轉化思想和函數思想，是中等難度的題目．